samedi 13 Juillet

L'exercice du jour: (Centrale Maths II - Merci Thibaut!)

On définit la suite de fonctions (u_n) par : pour tout réel a u₀(a) = a et

" u_n+1(a) = arctan( un(a)/[ 1+ sqrt(1 + un(a)^2)]

a) Ecrivez une fonction suite(N, a) qui donne les valeurs de u_n(a) pour n dans [[0, N]]. Que renvoit suite(3, 0 ? suite(10, 2018) ?

b) Conjecturez la limite, lorsque n -> +oo, de la suite u_n(a). Le vérifier pour a dans {1, 4, 10, 100}. On note C₁ cette conjecture.

Conjecturez la limite de la suite 2ⁿ u_n(a) ; on note C₂ cette conjecture.

Remarque : lors du passage, l’examinateur m’a demandé de modifier la fonction suite pour qu’elle renvoie la liste des valeurs de la suite (2ⁿ u_n(a)).

c) Tracer le graphe de la fonction 2¹⁰ u₁₀ sur l’intervalle [-30, 30] avec un pas de 0.01.

d) Démontrer : pour tout réel x | arctan(x)| <= |x|  Démontrer la conjecture C₁.

e) Déterminer la nature des séries de terme général u_n(a), u_n²(a), ln ( 2 u(n+1)a/un(a))

f) (ajout) En déduire un équivalent de u_n(a).

Soit g définie sur R par g(x) = sum(un(a), n=0 ... + oo)

g) Montrer que g est continue sur R.

Corrigé de l'exercice précédent